Matematica II

semestrale


 


Prof. Sergio Steffe' (a.a. 2000-2001)




1. Spazi Metrici in generale (6 ore)


Definizione di spazio metrico. Esempi elementari. Sfere. Successioni convergenti. Insiemi aperti, insiemi chiusi, intorni, e loro proprietà elementari. Chiusura e parte interna di un insieme. Sottospazi metrici. Successioni di Cauchy e loro proprietà elementari. Completezza di uno spazio metrico. Teorema del completamento di uno spazio metrico (sd). Cenni ai concetti di compattezza e connessione.

Funzioni continue tra spazi metrici. Caratterizzazione delle funzioni continue in termini di successioni di punti convergenti. Caratterizzazione delle funzioni continue in termini di aperti o di chiusi. Se f è continua, f(connesso) è connesso, f(compatto) è

compatto. Cenni alla continuità uniforme.

Punti fissi e teorema delle contrazioni.

Spazi normati e spazi di Banach.

Spazi con prodotto scalare e spazi di Hilbert.



2. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. (18 ore)


Lo spazio euclideo Rn : sua struttura di spazio di Hilbert; caratterizzazione dei compatti come insiemi chiusi e limitati. Enti geometrici elementari in R2, R3 ed Rn e loro descrizioni.

Funzioni di più variabili reali a valori reali. Continuità. Derivate parziali e direzionali. Differenziale e gradiente. Teoremi che legano la differenziabilità alla derivabilità parziale.

Funzioni di più variabili reali a valori vettoriali. Continuità. Derivate parziali e direzionali. Differenziale e matrice Jacobiana. Differenziale di funzioni composte. Trasformazioni di coordinate di uso più comune e loro proprietà.

Richiami sulle permutazioni. Multiindici. Formula del multinomio (sd).

Derivate di ordine più elevato. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Studio dei massimi e minimi di funzioni a valori reali. Condizioni al primo e secondo ordine per massimi e minimi relativi liberi. Funzioni convesse.

Equazioni e sistemi di equazioni non lineari. Funzioni definite implicitamente e teorema del Dini in 2 e (sd) in più variabili. Massimi e minimi vincolati e metodo dei moltiplicatori di Lagrange (sd).

Coni e funzioni omogenee - teorema di Eulero.

Operatori differenziali vettoriali di uso più comune: simboli e proprietà elementari.


3. Teoria della Misura e Integrazione in più variabili (15 ore).


Cenno all'impostazione del problema della definizione di misura ed integrale e alle definizioni principali secondo Jordan e Riemann, e ai legami con il calcolo delle probabilità - definizione di spazio misura - definizione di misura - la misura di Lebesgue e sue proprietà - spazi prodotto - funzioni misurabili - definizione di

integrale rispetto ad una misura - teorema di Fubini - cambio di variabili in astratto.


Integrali doppi e tripli rispetto la misura di Lebesgue - insiemi normali e formule di riduzione degli integrali doppi - formule di riduzione degli integrali tripli e multipli - sezioni e altre formule di riduzione - formule di cambiamento di variabili negli integrali multipli.


Applicazioni alla probabiltà - spazi probabilizzati - media matematica e valore atteso di una variabile aleatoria - la varianza - esempi - la gaussiana - la poissonia­na - alcune statistiche e loro proprietà elementari.


Applicazioni geometriche in R3: lunghezze - aree - volumi - baricentri.


Forme differenziali in Rn - integrazione di una forma differenziale - forme esatte e primitive - teorema di Gauss-Green in R2 - cenno alle formule di Gauss-Green e di Stokes in R3 (sd).


4. Spazi di funzioni (4 ore)


Esempi di spazi metrici e di spazi normati: gli spazi euclidei - lo spazio delle funzioni limitate, delle funzioni continue, delle funzioni integrabili, delle funzioni derivabili su un intervallo; la norma del sup - differenze tra la convergenza puntuale e uniforme - studio della completezza in vari spazi: Linfinito[a,b], C0[a,b],

R[a,b] - C1 non è completo con la norma del sup; sua completezza con la norma di C1 - L2 con il suo prodotto scalare e con la sua norma è uno spazio di Hilbert (sd).


5. Serie di Fuzioni (6)


Applicazioni alle serie di funzioni: - serie di potenze - raggio di convergenza - teoremi sulla derivazione ed integrazione di serie di potenze - serie di Taylor - funzioni Analitiche e non - serie di Fourier: calcolo dei coefficienti, convergenza puntuale e uniforme - sistemi ortonormali in generale e serie di Fourier in spazi di

Hilbert in astratto - convergenza in L2 per le serie di Fourier (sd).

Cenno alla trasformata di Fourier.


6. Equazioni differenziali (13)


Classificazione delle equazioni funzionali.

Equazioni differenziali ordinarie - problema di Cauchy - teorema di esistenza di Peano (sd) - teoremi di esistenza ed unicità in piccolo - teoremi di esistenza ed unicità sulla striscia - metodi di soluzione grafica - metodi di soluzione approssimata - .riduzione di una equazione di grado n ad un sistema del primo grado - equazioni a variabili separate - caso lineare e struttura delle soluzioni - sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti ed equazioni lineari di grado n.




Note:


sd = senza dimostrazione

Per il 3. vedi gli appunti distribuiti a lezione.


Bibliografia:


della integrazione, e sulle serie e trasformate di Fourier.


Vol I, II, Esercizi I, II Edizioni Pellegrini PISA 1970

Vol I,II, Esercizi (con Piccinini) I,II Liguori

McGraw-Hill Libri Italia - 1992

Liguori

Liguori 1996

mathematique

editions MIR - Moscou

Murray Spiegel Manuale di Matematica

Collana SHAUM

Mosca 1984

Academic Press

Mondadori

Wolfram Research 1992

Ginn and Company 1965


Prove di esame:


L`esame consiste di una prova scritta e di una prova

orale.



Pisa 18 gennaio 2001