Modi normali di due oscillatori accoppiati.

In queste pagine studieremo il concetto di modi normali di oscillazione prendendo come esempio un semplice sistema di oscillatori accoppiati.

Equazioni del moto.

Il sistema è rappresentato in figura, ed è costutuito da due masse $m_1$ ed $m_2$ collegate a due punti fissi da due molle di con costanti elastiche $k_1$ e $k_2$ rispettivamente. Inoltre un'ulteriore molla, di costante elastica $k$, collega le due masse tra di loro. Le lunghezze a riposo di tutte e tre le molle valgono $\ell_0$, e la distanza tra i due punti fissi vale $3\ell_0$, in modo tale che all'equilibrio le due masse si trovano ad uguale distanza tra loro e dal punto di attacco.

Se indichiamo con $x_1$ e $x_2$ lo spostamento delle due masse dalla rispettive posizioni di equilibrio vediamo che le equazioni del moto del sistema si possono scrivere nella forma seguente.

Per la prima massa

$$m_1 \ddot{x}_1 = {\color{red}{-k_1 x_1}} {\color{green}{+ k \left( x_2 -x_1\right)}}$$

e per la seconda

$$m_2 \ddot{x}_2 = {\color{blue}{-k_2 x_2}} {\color{orange}{+ k \left( x_1 -x_2\right)}}$$

Sono state evidenziate con colori differenti le diverse forze che agiscono sulle due masse. Nel dettaglio

In rosso è indicata la forza di richiamo che la prima molla a sinistra esercita sulla prima massa.
In verde la forza che la molla intermedia esercita sulla prima massa.
In blu la forza che la molla più a destra esercita sulla seconda massa.
In arancio la forza che la molla intermedia esercita sulla seconda massa.

Potete provare a trascinare le masse rappresentate in figura allontanandole dalla loro posizione di equilibrio: le forze appena descritte verranno visualizzate. Provate in particolare a disporre le masse in modo che sia presente la forza rossa e la forza blu, ma non la forza verde e arancio.

Le due equazioni del moto non sono indipendenti tra di loro. Siamo interessati a trovarne la soluzione generale. Dato che abbiamo a che fare con due equazioni del secondo ordine, ci aspettiamo che la soluzione generale sarà una combinazione lineare di quattro soluzioni linearmente indipendenti.

Le quattro costanti arbitrarie presenti in una soluzione generale di questo tipo potranno essere determinate imponendo quattro condizioni iniziali, le posizioni e le velocità iniziali delle due masse.

Nella sezione che segue introdurremo una tecnica generale per risolvere le equazioni del moto.

Prossima sezione: modi normali.