Scrivendo $$\ell=1.4\mbox{m}$$ intenderemo dire che “la lunghezza $\ell$ del tavolo misura $1.4$ metri”, ossia il rapporto tra $\ell$ e la lunghezza campione da noi scelta (in questo caso il metro [A]  [A] La definizione di metro è cambiata nel tempo. Originariamente esso era posto uguale a $1/(40\times10^{6})$ volte il meridiano terrestre. Successivamente divenne $1650763.73$ volte la lunghezza d’onda della radiazione emessa in una particolare transizione atomica. Attualmente il metro è definito come lo spazio percorso dalla luce nel vuoto in $1/299792458$ secondi., indicato dal simbolo m) è di $1.4$ .

Le grandezze fisiche sono in generale quantità dimensionate, e sono espresse da una parte numerica ($1.4$ nell’esempio precedente) e da una dimensione ($m$ nell’esempio precedente).

Per poter esprimere le grandezze fisiche interessanti saranno quindi necessarie un certo numero di unità di misura. L’insieme di unità di misura scelte come riferimento costituiranno un sistema di unità di misura. Ad esempio nel cosiddetto sistema internazionale si scelgono le unità di misura di

Chiediamoci adesso come cambia il valore numerico di una grandezza fisica se cambiamo il sistema di unità di misura. Per chiarezza prendiamo come riferimento il sistema internazionale, e definiamo delle nuove unità secondo la regola $$\begin{eqnarray*} \mbox{unità di lunghezza} & = & \frac{\mbox{m}}{L}\\ \mbox{unità di massa} & = & \frac{\mbox{kg}}{M}\\ \mbox{unità di tempo} & = & \frac{\mbox{s}}{T} \end{eqnarray*}$$ dove $L$ , $M$ e $T$ sono costanti numeriche. In questa trasformazione il valore numerico di una lunghezza verrà moltiplicato per $L$ , il valore numerico di una massa per $M$ , quello di un tempo per $T$ . Indicheremo con $[x]$ la dimensionalità della grandezza fisica $x$ , ossia il fattore per il quale il suo valore numerico viene cambiato nella trasformazione precedente. Avremo così $$\begin{eqnarray*} [\mbox{m}] & = & L\\ {}[\mbox{kg}] & = & M\\ {}[\mbox{s}] & = & T \end{eqnarray*}$$ e per una grandezza derivata come la velocità, $$[v]=\left[\mbox{m}\mbox{s}^{-1}\right]=LT^{-1}$$

Per esempio la relazione tra sistema internazionale e sistema cgs è data da $$\begin{eqnarray*} \mbox{cm} & = & \frac{\mbox{m}}{10^{2}}\\ \mbox{g} & = & \frac{\mbox{kg}}{10^{3}}\\ \mbox{s} & = & \frac{\mbox{s}}{1} \end{eqnarray*}$$ e quindi $L=10^{2}$ , $M=10^{3}$ e $T=1$ . Il valore numerico di una velocità cambierà quindi secondo la seguente regola: $$1\mbox{m}\,\mbox{s}^{-1}=LT^{-1}\mbox{cm}\,\mbox{s}^{-1}=10^{2}\mbox{cm}\,\mbox{s}^{-1}$$

Consideriamo adesso una determinata legge fisica. Essa potrà assumere ad esempio la forma di una uguaglianza tra due grandezze fisiche. Dato che non ci aspettiamo che tale uguaglianza debba dipendere dal sistema di unità di misura scelto, segue che le due grandezze fisiche uguagliate dovranno avere la stessa dimensione.

Consideriamo ad esempio una ipotetica legge della forma $$\tau=\frac{2\pi}{\sqrt{g}}$$ che dovrebbe legare il periodo $\tau$ di un pendolo all’accelerazione di gravità $g$ . Si può certamente trovare un sistema di unità di misura [B]  [B] Basta scegliere come unità di misura della lunghezza quella del pendolo considerato. nel quale la legge è verificata. Ma dato che $$\begin{eqnarray*} [\tau] & = & T\\ \left[\frac{1}{\sqrt{g}}\right] & = & TL^{-1/2} \end{eqnarray*}$$ essa non sarà valida in generale in un sistema diverso. Quindi la richiesta di indipendenza delle leggi fisiche dal sistema di unità di misura pone dei vincoli sulla forma delle leggi fisiche.

Un altro esempio: l’affermazione “la massa di un batterio è molto piccola” ha senso fisico? La risposta è negativa. Potremmo cercare di formularla scrivendo $$\begin{equation} m\ll1\label{eq:muchsmaller} \end{equation}$$ e la relazione precedente è certamente verificata nel sistema internazionale, dato che [C]  [C] Abbiamo preso come riferimento l’Escherichia coli. $$m\simeq6.65\text{×}10^{-16}\mbox{kg}$$ D’altra parte, se scegliamo come unità di misura la massa di un elettrone avremo $$m\simeq7.3\text{×}10^{14}\mbox{m}_{e}$$ e quindi in questo caso $m\gg1$ .

Possiamo parlare invece di grandezze fisiche molto piccole rispetto ad altre grandezze fisiche delle stesse dimensioni. Ad esempio l’affermazione “la massa di un batterio è molto maggiore di quella di un elettrone” ha perfettamente senso. Detto in altri termini, possiamo scrivere disuguaglianze del tipo (↓) solo per quantità adimensionali, ad esempio $$\frac{m}{m_{e}}\ll1$$

Il fatto che non esiste un sistema di unità di misura privilegiato rispetto agli altri ha altre conseguenze. Ad esempio vale il seguente teorema: La dimensionalità di una grandezza fisica è sempre un monomio delle dimensioni fondamentali.

Per dimostrarlo consideriamo per semplicità sistemi di unità di misura aventi per dimensioni di base $L$ , $M$ e $T$ . Allora le dimensioni di una grandezza fisica $a$ saranno esprimibili nella forma $$[a]=\Phi\left(L,M,T\right)$$ senza possibili dipendenze da altri parametri, dato che vogliamo trattare tutti i sistemi di unità di misura in modo equivalente. Consideriamo adesso un sistema di unità di misura di base, nel quale il valore numerico della grandezza considerata è $a$ . In un altro sistema (legato al sistema di base dalle scale $L_{1}$ , $M_{1}$ e $T_{1}$ ) il valore numerico della stessa quantità sarà $$a_{1}=a\Phi\left(L_{1},M_{1},T_{1}\right)$$ e in un altro ancora (legato al sistema di base dalle scale $L_{1}$ , $M_{1}$ e $T_{1}$ ) avremo $$a_{2}=a\Phi\left(L_{2},M_{2},T_{2}\right)$$ Allora potremo scrivere $$\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\Phi\left(L_{2},M_{2},T_{2}\right)}{\Phi\left(L_{1},M_{1},T_{1}\right)}$$ ma anche $$a_{2}=a_{1}\Phi\left(\frac{L_{2}}{L_{1}},\frac{M_{2}}{M_{1}},\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)$$ da cui otteniamo che la funzione $\Phi$ deve avere la proprietà $$\frac{\Phi\left(L_{2},M_{2},T_{2}\right)}{\Phi\left(L_{1},M_{1},T_{1}\right)}=\Phi\left(\frac{L_{2}}{L_{1}},\frac{M_{2}}{M_{1}},\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)$$ Conviene prendere il logaritmo di ambo i membri. Poniamo $$C_{0}\left(L,M,T\right)\equiv\log\Phi\left(L,M,T\right)$$ e quindi $$\begin{equation} C_{0}\left(L_{2},M_{2},T_{2}\right)-C_{0}\left(L_{1},M_{1},T_{1}\right)=C_{0}\left(\frac{L_{2}}{L_{1}},\frac{M_{2}}{M_{1}},\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)\label{eq:logbase} \end{equation}$$ Deriviamo rispetto a $L_{2}$ : $$\frac{\partial}{\partial L_{2}}C_{0}\left(L_{2},M_{2},T_{2}\right)=\frac{1}{L_{1}}\frac{\partial}{\partial L_{2}}C_{0}\left(\frac{L_{2}}{L_{1}},\frac{M_{2}}{M_{1}},\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)$$ e poniamo $L_{2}=L_{1}=L$ , $M_{2}=M_{1}=M$ e $T_{2}=T_{1}=T$ , ottenendo $$\begin{equation} L\frac{\partial}{\partial L}C_{0}\left(L,M,T\right)=\alpha\label{eq:logrel1} \end{equation}$$ dove abbiamo introdotto la costante $\alpha$ definita da $$\alpha=\frac{\partial C_{0}}{\partial L}\left(1,1,1\right)$$ L’equazione differenziale (↓) si risolve facilmente introducendo la variabile $x_{L}=\log L$ . Essa diventa infatti $$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x_{L}}C_{0}=\alpha\label{eq:logrel1-1} \end{equation}$$ e quindi deve essere $$C_{0}\left(L,M,T\right)=\alpha\log L+C_{1}\left(M,T\right)$$ Inseriamo questo risultato nella (↓) che diviene\strikeout off\uuline off\uwave off $$\alpha\log L_{2}+C_{1}\left(M_{2},T_{2}\right)-\alpha\log L_{1}-C_{1}\left(M_{1},T_{1}\right)=\alpha\log\frac{L_{2}}{L_{1}}+C_{1}\left(\frac{M_{2}}{M_{1}},\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)$$ \uuline default\uwave defaultossia $$\begin{equation} C_{1}\left(M_{2},T_{2}\right)-C_{1}\left(M_{1},T_{1}\right)=C_{1}\left(\frac{M_{2}}{M_{1}},\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)\label{eq:logbase1} \end{equation}$$ Questa equazione è analoga alla (↓): ripetiamo quindi la procedura derivando questa volta rispetto a $M_{2}$ , per ottenere $$C_{1}\left(M,T\right)=\beta\log M+C_{2}\left(T\right)$$ dove $\beta$ è una nuova costante. Sostituendo nella (↓) abbiamo adesso $$C_{2}\left(T_{2}\right)-C_{2}\left(T_{1}\right)=C_{2}\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)$$ e ripetendo la procedura derivando rispetto a $T_{2}$ otteniamo infine $C_{2}(T)=\gamma\log T$ ($\gamma$ è una terza costante). Mettendo insieme i termini ottenuti abbiamo infine $$\log\Phi\left(L,M,T\right)=\alpha\log L+\beta\log M+\gamma\log T$$ e quindi $$\Phi\left(L,M,T\right)=L^{\alpha}M^{\beta}T^{\gamma}$$

Una conseguenza interessante di questo fatto è che deve sempre essere possibile esprimere una legge fisica in una forma nella quale eventuali funzioni diverse dalla potenza abbiamo solo argomenti adimensionali. Non devono apparire ad esempio espressioni del tipo $$\log m,\quad\sin g,\quad e^{v}$$ e così via.

Supponiamo adesso di sapere che una data legge fisica deve essere esprimibile nella forma $$\begin{equation} a=F\left(a_{1},\cdots,a_{k},b_{1},\cdots,b_{m}\right)\label{eq:BasicEq} \end{equation}$$ dove $a$ , $a_{i}$ e $b_{i}$ sono grandezze fisiche e $F$ una funzione ignota. Abbiamo scelto le $k$ quantità $a_{i}$ in modo tale che le $m$ rimanenti $b_{i}$ abbiano una dimensione da esse dipendenti, ossia $$\begin{eqnarray*} \left[b_{1}\right] & = & \left[a_{1}^{p_{11}}\cdots a_{k}^{p_{1k}}\right]\\ \left[b_{2}\right] & = & \left[a_{1}^{p_{21}}\cdots a_{k}^{p_{2k}}\right]\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ \left[b_{m}\right] & = & \left[a_{1}^{p_{m1}}\cdots a_{k}^{p_{mk}}\right] \end{eqnarray*}$$ per opportune costanti $p_{ij}$ .

Segue che deve anche essere $$\left[a\right]=\left[a_{1}^{q_{1}}\cdots a_{k}^{q_{k}}\right]$$ altrimenti per quanto detto precedentemente sarebbe possibile scegliere un nuovo sistema di unità di misura nel quale $a$ varia di un fattore arbitrario mentre sia le quantità $a_{i}$ che le $b_{i}$ restano invariate. La legge fisica quindi non potrebbe essere valida in qualsiasi sistema.

Introduciamo adesso le combinazioni adimensionali $$\begin{eqnarray*} \Pi & = & \frac{a}{a_{1}^{q_{1}}\cdots a_{k}^{q_{k}}}\\ \Pi_{1} & = & \frac{b_{1}}{a_{1}^{p_{11}}\cdots a_{k}^{p_{1k}}}\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ \Pi_{m} & = & \frac{b_{1}}{a_{1}^{p_{m1}}\cdots a_{k}^{p_{mk}}} \end{eqnarray*}$$ utilizzando le quali possiamo riesprimere la legge (↓) nella forma $$\begin{eqnarray*} \Pi & = & \frac{1}{a_{1}^{q_{1}}\cdots a_{k}^{q_{k}}}F\left(a_{1},\cdots,a_{k},\Pi_{1}a_{1}^{p_{11}}\cdots a_{k}^{p_{1k}},\cdots,\Pi_{m}a_{1}^{p_{m1}}\cdots a_{k}^{p_{mk}}\right)\\ & = & G\left(a_{1},\cdots,a_{k},\Pi_{1},\cdots,\Pi_{m}\right) \end{eqnarray*}$$ Adesso possiamo arrivare alla conclusione che ci interessa: dato che le quantità $\Pi$ , $\Pi_{i}$ sono adimensionali, il loro valore non cambia se scegliamo nuove unità di misura. Al tempo stesso, è possibile scegliere unità di misura in modo che una delle $a_{i}$ cambi per un certo fattore, e tutte le altre restino invariate. Di conseguenza la nuova funzione $G$ non può dipendere veramente dagli $a_{i}$ , e potremo scrivere $$\Pi=\Phi\left(\Pi_{1},\cdots,\Pi_{m}\right)$$ oppure, più esplicitamente, $$a=\frac{1}{a_{1}^{q_{1}}\cdots a_{k}^{q_{k}}}\Phi\left(\frac{b_{1}}{a_{1}^{p_{11}}\cdots a_{k}^{p_{1k}}},\cdots,\frac{b_{1}}{a_{1}^{p_{m1}}\cdots a_{k}^{p_{mk}}}\right)$$ Questo è il cosiddetto teorema $\Pi$ (o teorema di Buckingam). Una legge fisica per una quantità dimensionata $a$ , dipendente da un certo numero di parametri dimensionati $a_{i}$ e $b_{i}$ , si può scrivere come prodotto di un fattore della stessa dimensione di $a$ costruito con i parametri moltiplicato per una funzione arbitraria di tutte le combinazioni adimensionali indipendenti dei parametri stessi.

La definizione di parametri adimensionali indipendenti è la seguente: non deve essere possibile esprimere uno di essi come monomio degli altri.