Detto $R_{\oplus}$ il raggio terrestre abbiamo $$\begin{equation} 1\mbox{m}=\frac{2\pi R_{\oplus}}{40\times10^{6}} \end{equation}$$ ma anche $$\begin{equation} 1\mbox{nmi}=2\pi R_{\oplus}\frac{1^{\prime}}{360^{\circ}}=2\pi R_{\oplus}\frac{1}{360\times60} \end{equation}$$ e quindi confrontando $$\begin{equation} 1\mbox{nmi}=\frac{40\times10^{6}}{360\times60}\mbox{m}\simeq1852\mbox{m} \end{equation}$$

Abbiamo $$\begin{equation} 1\mbox{nodo}=\frac{1\mbox{nmi}}{1\mbox{h}}=\frac{1852\mbox{m}}{3600\mbox{s}}=0.51\mbox{m/s} \end{equation}$$ e anche $$\begin{equation} 1\mbox{nodo}=\frac{1\mbox{nmi}}{1\mbox{h}}=\frac{1.852\mbox{km}}{1\mbox{h}}=1.85\mbox{km/h} \end{equation}$$

Facendo riferimento alla Figura 1↑ abbiamo $$\begin{equation} 1\mbox{UA}=1\mbox{pc}\tan\left(2\pi\frac{1^{\prime\prime}}{360^{\circ}}\right) \end{equation}$$ ossia (notare che $\tan x\simeq x$ se $|x|\ll1$ ) $$\begin{equation} 1\mbox{pc}=\frac{1.496\times10^{11}\mbox{m}}{\tan\left(\frac{2\pi}{360\times60\times60}\right)}\simeq\frac{1.496\times10^{11}\mbox{m}}{\tan\left(4.8\times10^{-6}\right)}\simeq\frac{1.496\times10^{11}\mbox{m}}{4.8\times10^{-6}}\simeq3.1\times10^{16}\mbox{m} \end{equation}$$

Abbiamo $$\begin{equation} H_{0}^{-1}=\frac{1}{65}\frac{\mbox{Mpc}\mbox{s}}{\mbox{km}}=\frac{10^{6}\times3.1\times10^{16}\mbox{m}\mbox{s}}{65\times10^{3}\mbox{m}}\simeq4.8\times10^{17}\mbox{s} \end{equation}$$

I parametri in gioco sono la massa del pendolo $m$ , la sua lunghezza $\ell$ , l’accelerazione di gravità $g$ e la velocità iniziale $v_{0}$ . Vogliamo con essi costruire una grandezza delle dimensioni di un tempo, cioè $$\begin{equation} [m^{\alpha}\ell^{\beta}g^{\gamma}v_{0}^{\delta}]=M^{\alpha}L^{\beta+\gamma+\delta}T^{-2\gamma-\delta}=T \end{equation}$$ Otteniamo il sistema $$\begin{eqnarray*} \alpha & = & 0\\ \beta+\gamma+\delta & = & 0\\ -2\gamma-\delta & = & 1 \end{eqnarray*}$$ che può essere risolto nella forma $$\begin{eqnarray*} \alpha & = & 0\\ \beta & = & \frac{1-\delta}{2}\\ \gamma & = & -\frac{1+\delta}{2} \end{eqnarray*}$$ con $\delta$ arbitrario. Quindi qualsiasi combinazione del tipo $$\ell^{\frac{1-\delta}{2}}g^{-\frac{1+\delta}{2}}v_{0}^{\delta}=\left(\frac{v_{0}^{2}}{\ell g}\right)^{\frac{\delta}{2}}\sqrt{\frac{\ell}{g}}$$ ha le dimensioni di un tempo. La soluzione per il periodo sarà quindi della forma $$\begin{equation} T=f\left(\frac{v_{0}^{2}}{\ell g}\right)\sqrt{\frac{\ell}{g}} \end{equation}$$ dove $f$ è una funzione arbitraria del parametro adimensionale $$\Pi_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{\ell g}$$ Questa funzione esprime una possibile dipendenza (che in effetti esiste) del periodo di oscillazione di un pendolo dalla sua ampiezza. Il principio di isocronia delle oscillazioni, valido approssimativamente per piccole ampiezze, ci dice che $$\begin{equation} \lim_{x\rightarrow0}f(x)=C \end{equation}$$ dove $C$ è una costante strettamente maggiore di zero. Risolvendo le equazioni del moto si trova che la formula è corretta, e che $C=2\pi$ .

Vogliamo determinare una grandezza delle dimensioni di un tempo dai parametri supposti rilevanti, cioè $m$ , $h$ , $\gamma$ e $g$ . Le dimensioni di $\gamma$ sono anzitutto $$\begin{equation} [\gamma]=\frac{[F]}{[v]}=M^{1}L^{0}T^{-1} \end{equation}$$ e abbiamo $$\begin{equation} [m^{c_{1}}h^{c_{2}}\gamma^{c_{3}}g^{c_{4}}]=M^{c_{1}+c_{3}}L^{c_{2}+c_{4}}T^{-c_{3}-2c_{4}} \end{equation}$$ quindi deve essere $$\begin{eqnarray} c_{1}+c_{3} & = & 0\\ c_{2}+c_{4} & = & 0\\ -c_{3}-2c_{4} & = & 1 \end{eqnarray}$$ da cui $$\begin{eqnarray} c_{1} & = & 2c_{4}+1\\ c_{2} & = & -c_{4}\\ c_{3} & = & -2c_{4}-1 \end{eqnarray}$$ La conclusione è che la combinazione $$\begin{equation} m^{2c_{4}+1}h^{-c_{4}}\gamma^{-2c_{4}-1}g^{c_{4}}=\frac{m}{\gamma}\left(\frac{m^{2}g}{\gamma^{2}h}\right)^{c_{4}} \end{equation}$$ ha le dimensioni richieste per un valore arbitrario di $c_{4}$ . É chiaro inoltre che la combinazione $$\begin{equation} \Pi_{1}=\frac{gm^{2}}{h\gamma^{2}} \end{equation}$$ è adimensionale, quindi potremo scrivere per il tempo di caduta $\tau$ $$\begin{equation} \tau=\frac{m}{\gamma}F\left(\frac{m^{2}g}{\gamma^{2}h}\right) \end{equation}$$ dove $F$ è una funzione arbitraria. Da un esercizio svolto precedentemente sappiamo che nel limite di attrito trascurabile deve essere $$\begin{equation} \lim_{\gamma\rightarrow0}\frac{m}{\gamma}F\left(\frac{m^{2}g}{\gamma^{2}h}\right)=k\sqrt{\frac{h}{g}} \end{equation}$$ questo significa che per grandi valori di $x$ deve essere $$\begin{equation} F\left(x\right)\sim\frac{k}{\sqrt{x}} \end{equation}$$

Possiamo ripetere le considerazioni fatte all’esercizio precedente, cercando questa volta una grandezza delle dimensioni di una velocità. Da $$\begin{equation} [m^{c_{1}}h^{c_{2}}\gamma^{c_{3}}g^{c_{4}}]=M^{c_{1}+c_{3}}L^{c_{2}+c_{4}}T^{-c_{3}-2c_{4}} \end{equation}$$ otteniamo stavolta $$\begin{eqnarray} c_{1}+c_{3} & = & 0\\ c_{2}+c_{4} & = & 1\\ -c_{3}-2c_{4} & = & -1 \end{eqnarray}$$ da cui $$\begin{eqnarray} c_{1} & = & 1-2c_{2}\\ c_{4} & = & 1-c_{2}\\ c_{3} & = & 2c_{2}-1 \end{eqnarray}$$ Quindi per qualsiasi valore di $c_{2}$ la quantità $$\begin{equation} \frac{mg}{\gamma}\left(\frac{h\gamma^{2}}{gm^{2}}\right)^{c_{2}} \end{equation}$$ ha le dimensioni cercate. D’altra parte la velocità limite non può dipendere da $h$ per definizione, e quindi $c_{2}=0$ . In conclusione sarà $$\begin{equation} v_{LIM}=k\frac{mg}{\gamma} \end{equation}$$ dove $k$ è la solita costante adimensionale indeterminata. Se ci avesse interessato la velocità con cui il paracadutista arrivava al suolo avremmo scritto $$\begin{equation} v_{FIN}=\frac{mg}{\gamma}F\left(\frac{h\gamma^{2}}{gm^{2}}\right) \end{equation}$$ con $F$ funzione arbitraria, e dall’esistenza di una velocità limite avremmo potuto concludere che $$\begin{equation} \lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=C \end{equation}$$ con $C>0$ .