Esercitazioni di Fisica 1

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1 Studio del moto di un paracadutista

Figure 1 Le forze che agiscono su un paracadutista in moto verticale.

• se conosciamo la velocità del paracadutista ad un istante dato (ad esempio all’istante iniziale) il grafico ci permette di calcolare la accelerazione;
• se l’accelerazione è positiva la velocità successivamente aumenterà, diminuirà in caso contrario. Questo significa che se ad una data velocità ci troviamo sulla semiretta che giace nel semipiano $a_{y}>0$ , successivamente ci sposteremo su di essa verso destra. Se invece ci troviamo sulla semiretta che giace nel semipiano $a_{y}<0$ successivamente ci sposteremo verso sinistra.

Figure 2 L’accelerazione verticale $a_{y}$ in funzione della velocità verticale $v_{y}$ . Nel semipiano superiore (in verde) l’accelerazione è positiva, quindi la velocità deve aumentare. Nel semipiano inferiore (in giallo) l’accelerazione è negativa, quindi la velocità deve diminuire.

Figure 3 Una rappresentazione dell’Equazione (↓) nel piano $v_{y}$ (in $\unit{m~s^{-1}}$ )-$t$ (in $s$ ). In ogni punto del piano l’equazione definisce la pendenza della curva. La retta orizzontale blu corrisponde a $v_{y}=v_{L}$ : nei punti che le appartengono la pendenza è nulla. Si è scelto $v_{L}=-0.5\unit{m~s^{-1}}$ .

Figure 4 Una rappresentazione dell’Equazione (↓) nel piano $v_{y}$ (in $\unit{m~s^{-1}}$ )-$t$ (in $s$ ). In ogni punto del piano l’equazione definisce la pendenza della curva. La retta orizzontale blu corrisponde a $v_{y}=v_{L}$ : nei punti che le appartengono la pendenza è nulla. Si è scelto $v_{L}=-0.5\unit{m~s^{-1}}$ . Sono state aggiunte delle possibili curve che in ogni punto hanno la giusta pendenza.

2 Filo con massa che pende da un tavolo

Figure 5 Il filo (in blu) considerato nel problema. \’E inestensibile, di lunghezza totale $\ell$ e massa totale $m$ , distribuita uniformemente. Nel disegno è stato aggiunto un vincolo aggiuntivo a forma di L attorno all’angolo superiore destro, per sottolineare che il filo è vincolato a non distaccarsi dal piano, cosa che farebbe se fosse semplicemente appoggiato.

• La derivata di una funzione esponenziale è proporzionale alla funzione stessa, quindi lo sarà anche la sua derivata seconda: $$\frac{d^{2}}{dt^{2}}e^{kt}=k^{2}e^{kt}$$
• La derivata seconda di un seno o di un coseno ha la stessa proprietà: $$\begin{align*} \frac{d^{2}}{dt^{2}}\cos kt & =-k^{2}\cos kt\\ \frac{d^{2}}{dt^{2}}\sin kt & =-k^{2}\sin kt \end{align*}$$