Un cilindro di massa $M$ e raggio $R$ è appoggiato su un piano inclinato inclinato di un angolo $\theta$ rispetto all’orizzontale. È presente attrito dinamico (coefficiente $\mu_{D}$ ) e attrito statico (coefficiente $\mu_{S}$ ). Si vuole discutere il moto del cilindro al variare dei parametri del problema e delle condizioni iniziali (velocità e velocità angolare iniziale del cilindro).

Scriviamo prima di tutto le equazioni del moto per il centro di massa. Scegliendo gli assi come in Figura 1↑ abbiamo $$\begin{eqnarray} M\dot{v}_{x} & = & F_{a}+Mg\sin\theta\label{eq:cmx}\\ 0 & = & N-Mg\cos\theta\label{eq:cmy} \end{eqnarray}$$ Nella prima equazione $F_{a}$ indica la forza di attrito statico, che ancora non conosciamo. Nella seconda il membro sinistro vale zero perché $\dot{v}_{y}=0$ , e si ricava immediatamente il valore costante della reazione normale del piano $N=Mg\cos\theta$ .

In questo caso la forza di attrito non ha momento, ma lo ha la forza peso. Possiamo allora scrivere $$\frac{dL_{O}}{dt}=-MgR\sin\theta$$ Il momento angolare rispetto al polo scelto vale $$L_{O}=I_{CM}\omega+MRv_{x}$$ e quindi otteniamo $$\begin{equation} I_{CM}\dot{\omega}+MR\dot{v}_{x}=-MgR\sin\theta\label{eq:L0} \end{equation}$$ Per confrontare con quanto trovato precedentemente consideriamo l’equazione del moto per il centro di massa (↓). Moltiplicandola membro a membro per $R$ otteniamo $$MR\dot{v}_{x}=F_{a}R+MgR\sin\theta$$ e sottraendo membro a membro alla (↓) otteniamo nuovamente la (↓).

In questo caso le equazioni precedenti si scrivono $$\begin{align} M\dot{v}_{x} & =F_{a}+Mg\sin\theta\\ I_{CM}\dot{\omega} & =F_{a}R\\ \left|F_{a}\right| & \leq\mu_{s}Mg\cos\theta\label{eq:Fstat} \end{align}$$ Moltiplicando ambo i membri della prima equazione per $M^{-1}$ , ambo i membri della seconda per $RI_{CM}^{-1}$ e sommando membro a membro otteniamo $$\frac{d}{dt}\left(v_{x}+R\omega\right)=\left(\frac{1}{M}+\frac{R^{2}}{I_{CM}}\right)F_{a}+g\sin\theta$$ e dato che inizialmente si ha rotolamento puro $v_{x}(0)+R\omega(0)=0$ . Se questa condizione si deve mantenere successivamente è necessario che $$\frac{d}{dt}\left(v_{x}+R\omega\right)=0$$ e quindi $$F_{a}=-\frac{I_{CM}}{I_{CM}+MR^{2}}Mg\sin\theta$$ Sostituendo nella (↓) troviamo $$\frac{I_{CM}}{I_{CM}+MR^{2}}Mg\sin\theta\leq\mu_{s}Mg\cos\theta$$ ossia $$\frac{I_{CM}}{I_{CM}+MR^{2}}\tan\theta\leq\mu_{s}$$ e dato che per un cilindro $I_{CM}=MR^{2}/2$ vediamo che il rotolamento puro può continuare solo se $$\begin{equation} \mu_{s}\geq\frac{1}{3}\tan\theta\label{eq:rotpuro1} \end{equation}$$

Se inizialmente $v_{x}=V$ e $\omega=0$ allora la velocità del punto di contatto vale $$v_{O}=V>0$$ e quindi la forza di attrito vale $F_{a}=-\mu_{D}Mg\cos\theta$ . Di conseguenza le equazioni del moto diventano $$\begin{eqnarray*} M\dot{v}_{x} & = & -\mu_{D}Mg\cos\theta+Mg\sin\theta\\ I_{CM}\dot{\omega} & = & -\mu_{D}MgR\cos\theta \end{eqnarray*}$$ Si tratta di un moto uniformemente accelerato sia per il centro di massa che per l’angolo di rotazione. Possiamo trovare immediatamente le soluzioni: $$\begin{eqnarray*} v_{x} & = & V+g\left(\sin\theta-\mu_{D}\cos\theta\right)t\\ R\omega & = & -\mu_{D}\frac{MR^{2}}{I_{CM}}gt\cos\theta=-2gt\mu_{D}\cos\theta \end{eqnarray*}$$ e se costruiamo la combinazione $$v_{O}=v_{x}+R\omega=V+g\left(\sin\theta-3\mu_{D}\cos\theta\right)t$$ vediamo che quando $$\begin{equation} \sin\theta-3\mu_{D}\cos\theta<0\label{eq:rotpuro2} \end{equation}$$ il cilindro inizia un moto di rotolamento puro ($v_{O}=0$ ) al tempo $$t=\frac{V}{3\mu_{D}\cos\theta-\sin\theta}$$ Dato che la condizione (↓) si può anche scrivere nella forma $$\mu_{D}>\frac{1}{3}\tan\theta$$ e che $\mu_{s}>\mu_{D}$ questo rotolamento puro rimarrà tale anche successivamente.

Un pendolo fisico è ottenuto vincolando un corpo rigido di massa $M$ a ruotare in un piano attorno ad un punto fisso di sospensione. Si conosce la distanza $a$ tra il centro di massa del corpo e il punto di sospensione, ed anche il momento di inerzia $I_{CM}$ del corpo rigido attorno ad un asse parallelo a quello di rotazione passante per il centro di massa.

Dato che conosciamo il momento di inerzia rispetto al centro di massa e la distanza tra questo e il punto di sospensione abbiamo dal teorema di Steiner $$I=I_{CM}+Ma^{2}$$

Indicando con $\theta$ , come in Figura 2↑, l’angolo tra la verticale e il segmento congiungente il centro di massa e il punto di sospensione, possiamo scrivere la seconda equazione cardinale nella forma $$I\ddot{\theta}=-Mga\sin\theta$$ Confrontando con l’equazione del moto di un pendolo ideale di lunghezza $\ell$ $$\ddot{\theta}=-\frac{g}{\ell}\sin\theta$$ vediamo che possiamo pensare al pendolo fisico come a un pendolo ideale con una “lunghezza efficace” $$\ell_{eff}=\frac{I}{Ma}$$

Dato che conosciamo un punto fisso, possiamo scrivere l’energia cinetica come energia di pura rotazione attorno ad esso $$E_{c}=\frac{1}{2}I\dot{\theta}^{2}$$ e per quanto riguarda l’energia potenziale abbiamo $$U=-Mga\cos\theta$$ L’energia totale è dunque $$E=\frac{1}{2}I\dot{\theta}^{2}-Mga\cos\theta$$ È interessante notare che possiamo ricavare da quest’ultima l’equazione del moto vista precedentemente. Dato che l’energia si conserva, deve essere $\dot{E}=0$ . D’altra parte $$\dot{E}=I\dot{\theta}\ddot{\theta}+Mga\dot{\theta}\sin\theta=\dot{\theta}\left(I\ddot{\theta}+Mga\sin\theta\right)=0$$ L’equazione precedente ci dice che l’energia si conserva in due casi:

L’equilibrio stabile corrisponde al minimo dell’energia potenziale, e quindi a $\theta=0$ . Per piccole oscillazioni possiamo approssimare $\sin\theta\simeq\theta$ e quindi avremo $$\ddot{\theta}=-\frac{Mga}{I}\theta$$ Questo è un oscillatore armonico con $$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{Mga}{I}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\ell_{eff}}}$$

Possiamo scrivere $$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{Mga}{I_{CM}+Ma^{2}}}$$ Per valori piccoli di $a$ il numeratore diventa piccolo (il momento della forza peso è piccolo perché ha un piccolo braccio). Quindi la frequenza di oscillazione tende a zero dato che il denominatore tende alla costante finita $I_{CM}$ . D’altra parte per valori grandi di $a$ il denominatore cresce più rapidamente del numeratore (l’inerzia del sistema diventa molto grande) e quindi anche in questo caso la frequenza di oscillazione tende a zero.

In questo caso $I_{CM}=MR^{2}/2$ , e per ottenere la frequenza massima si deve sospendere il disco ad una distanza ottimale $$a^{*}=\frac{R}{\sqrt{2}}$$ ottenendo una lunghezza efficace $$\ell_{eff}^{*}=R\sqrt{2}$$ e una frequenza massima $$f^{*}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{R\sqrt{2}}}$$ Notare che questa frequenza massima non dipende dalla massa.

Un manubrio, rappresentato in Figura 3↓, e costituito da due masse puntiformi $m$ poste agli estremi di un’asta di massa trascurabile e lunghezza $2a$ . L’asta è saldata nel suo punto medio ad un’asse che ruota ad una velocità angolare costante $\omega$ , e l’angolo (fisso) tra asta e asse vale $\theta$ .

Dato che il modulo della velocità di entrambe le masse è $$v=a\omega\sin\theta$$ abbiamo $$E_{c}=\frac{1}{2}2ma^{2}\omega^{2}\sin^{2}\theta$$

Un primo modo di procedere è il seguente: sappiamo che possiamo scrivere l’energia cinetica come energia di pura rotazione attorno ad un punto fisso del manubrio, che è ovviamente il punto di giunzione con l’asse di rotazione, nella forma $$E_{c}=\frac{1}{2}I\omega^{2}$$ e confrontando con l’espressione precedente dell’energia troviamo $$I=2ma^{2}\sin^{2}\theta$$ D’altra parte possiamo anche applicare direttamente la definizione: $$I=\sum_{i}m_{i}d_{i}^{2}$$ sommando su tutte le masse del sistema $m_{i}$ . Tenendo conto che nel nostro caso $m_{1}=m_{2}=m$ e che le distanze dall’asse di rotazione sono $d_{1}=d_{2}=a\sin\theta$ troviamo nuovamente lo stesso risultato.

Scegliendo un sistema di riferimento con l’origine nel centro di massa del manubrio, e asse $z$ coincidente con l’asse di rotazione, scriviamo i vettori posizione delle due masse $$\vec{r}_{1}=a\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\omega t\\ \sin\theta\sin\omega t\\ \cos\theta \end{pmatrix}$$ e $$\vec{r}_{2}=-a\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\omega t\\ \sin\theta\sin\omega t\\ \cos\theta \end{pmatrix}$$ Derivando otteniamo le velocità $$\vec{v}_{1}=a\omega\begin{pmatrix}-\sin\theta\sin\omega t\\ \sin\theta\cos\omega t\\ 0 \end{pmatrix}$$ e $$\vec{v}_{2}=-a\omega\begin{pmatrix}-\sin\theta\sin\omega t\\ \sin\theta\cos\omega t\\ 0 \end{pmatrix}$$ Calcoliamo il momento angolare applicando la definizione. Otteniamo $$\vec{L}=m\vec{r}_{1}\wedge\vec{v_{1}}+m\vec{r}_{2}\wedge\vec{v_{2}}=2m\vec{r}_{1}\wedge\vec{v_{1}}$$ dove l’ultima semplificazione è stata ottenuta osservando che $\vec{r}_{2}=-\vec{r}_{1}$ e $\vec{v}_{2}=-\vec{v}_{1}$ : le due masse danno lo stesso contributo al momento angolare. Esplicitamente otteniamo $$\begin{align*} \vec{L} & =2ma^{2}\omega\begin{vmatrix}\hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\ \sin\theta\cos\omega t & \sin\theta\sin\omega t & \cos\theta\\ -\sin\theta\sin\omega t & \sin\theta\cos\omega t & 0 \end{vmatrix}\\ & =2ma^{2}\omega\begin{pmatrix}-\sin\theta\cos\theta\cos\omega t\\ -\sin\theta\cos\theta\sin\omega t\\ \sin^{2}\theta \end{pmatrix} \end{align*}$$ Abbiamo una componente nel piano $x-y$ di modulo $2ma^{2}\omega\sin\theta\cos\theta$ che ruota con velocità angolare $\omega$ , più una componente costante in direzione $z$ $$L_{z}=2ma^{2}\omega\sin^{2}\theta$$ Il vettore $\vec{L}$ quindi non si conserva, ma si conserva il suo modulo $$\left|\vec{L}\right|=2ma^{2}\omega\sin\theta$$ e la sua componente $L_{z}$ . Notare che $\vec{L}$ è perpendicolare alla sbarra, ed il suo modulo è proporzionale alla superficie spazzata da quest’ultima nell’unità di tempo. Detto $\phi$ l’angolo di rotazione della sbarra abbiamo infatti $$dS=2\left(\frac{1}{2}~a~ad\phi\sin\theta\right)$$ e quindi $$\frac{dS}{dt}=a^{2}\omega\sin\theta=\frac{1}{2m}\left|\vec{L}\right|$$

Per ragioni di simmetria un asse principale del manubrio (rispetto al centro di massa) è parallelo ad esso. Il relativo momento di inerzia $I_{\parallel}$ è nullo, perchè le masse si trovano su di esso. Gli altri due sono perpendicolari al manubrio, e per entrambi si ha $$I_{\perp}=2ma^{2}$$ dato che le masse si trovano ad una distanza $a$ da esso. Per determinare il momento angolare scomponiamo la velocità angolare lungo gli assi principali. Abbiamo $$\vec{\omega}=\vec{\omega}_{\perp}+\vec{\omega}_{\parallel}$$ e quindi per il momento angolare avremo $$\begin{eqnarray*} \vec{L} & = & I_{\perp}\vec{\omega}_{\perp}+I_{\parallel}\vec{\omega}_{\parallel}\\ & = & 2ma^{2}\vec{\omega}_{\perp} \end{eqnarray*}$$ D’altra parte $$\vec{\omega}_{\perp}=\hat{n}\omega\sin\theta$$ dove $$\hat{n}=\begin{pmatrix}-\cos\theta\cos\omega t\\ -\cos\theta\sin\omega t\\ \sin\theta \end{pmatrix}$$ è un versore perpendicolare al manubrio nel piano che contiene questo e l’asse di rotazione. Abbiamo infine $$\vec{L}=2ma^{2}\omega\sin\theta\begin{pmatrix}-\cos\theta\cos\omega t\\ -\cos\theta\sin\omega t\\ \sin\theta \end{pmatrix}$$ in accordo con l’espressione trovata precedentemente.

Deve essere $$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}$$ e quindi $$\vec{M}=2ma^{2}\omega^{2}\sin\theta\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\omega t\\ -\cos\theta\cos\omega t\\ 0 \end{pmatrix}$$ Si può verificare che $\vec{M}$

Una sbarra di lunghezza $\ell$ e massa $m$ è appoggiata su due rulli di raggio $\rho$ che ruotano con velocità angolare costante $-\omega_{0}$ e $\omega_{0}$ attorno al loro asse, come in Figura 4↓. La distanza tra i rulli è $2a<\ell$ e tra essi e la sbarra c’è attrito, descritto da coefficienti $\mu_{s}$ e $\mu_{d}$ (gli stessi per entrambi i rulli).