Chiamiamo $I_{CM}=cmr^{2}$ il momento di inerzia del cilindro rispetto al suo centro di massa. Se il cilindro rotola senza strisciare arriva in fondo con energia cinetica $$K=\frac{1}{2}\left(1+c\right)mv_{0}^{2}=mgy$$

La variazione di energia nell’urto vale $$\begin{align*} \Delta E & =\frac{1}{2}\left(I_{CM}+mr^{2}\right)\omega_{f}^{2}-K\\ & =\frac{1}{2}\left(1+c\right)mr^{2}\left(\omega_{f}^{2}-\frac{v_{0}^{2}}{r^{2}}\right) \end{align*}$$ e dato che $$\omega_{f}=-\left[1-\frac{mrh}{\left(1+c\right)mr^{2}}\right]\frac{v_{0}}{r}$$ vediamo che si deve prendere il massimo valore possibile per $c$ .

Nel primo caso abbiamo $I_{CM}=mr^{2}/2$ , quindi $c=1/2$ . Se la massa è tutta sul bordo $I_{CM}=mr^{2}$ e quindi $c=0$ . Infine se la massa è tutta sull’asse di rotazione $I_{CM}=0$ e quindi $c=0$ .

Il caso generale si può trattare considerando il centro di massa in una posizione arbitraria, come in figura.

Scriviamo le equazioni cardinali. Per il moto verticale del centro di massa abbiamo $$M\ddot{y}=-Mg+T$$ e per la rotazione $$I\ddot{\theta}=-TR$$ dove $I$ è il momento di inerzia del cilindro rispetto al suo centro di massa, $I=MR^{2}/2$ . La condizione di rotolamento puro sul filo da $$R\ddot{\theta}=\ddot{y}$$ da cui $$T=-\frac{I}{R^{2}}\ddot{y}$$ e sostituendo nella prima equazione si trova $$\left(M+\frac{I}{R^{2}}\right)\ddot{y}=-Mg$$ da cui $$\begin{equation} \ddot{y}=-\frac{MR^{2}}{I+MR^{2}}g=-\frac{2}{3}g \end{equation}$$

Discutere le traiettorie di un pendolo sferico, cioè di una particella vincolate nello spazio da un filo inestensibile di lunghezza $\ell$ .

Conviene descrivere il sistema in coordinate sferiche. Possiamo scrivere l’energia cinetica come $$K=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta\dot{\varphi}^{2}\right)=\frac{1}{2}m\ell^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin^{2}\theta\dot{\varphi}^{2}\right)$$ e l’energia potenziale $$U=mgz=mg\ell\cos\theta\,.$$ Osserviamo che sulla particella agiscono due forze: la forza peso e la reazione vincolare della superficie. Possiamo scrivere $$\vec{F}=-mg\hat{e}_{z}-N\hat{e}_{r}$$ ma dato che $$\vec{r}=\ell\hat{e}_{r}$$ abbiamo $$\vec{M}=\vec{r}\wedge\vec{F}=-mg\ell\hat{e}_{r}\wedge\hat{e}_{z}-N\ell\hat{e}_{r}\wedge\hat{e}_{r}$$ da cui segue che $\vec{M}\cdot\hat{e}_{z}=0$ . Quindi il momento delle forze non ha componenti verticali e la componente $z$ del momento angolare si conserva: $$L_{z}=m\ell^{2}\sin^{2}\theta\dot{\varphi}$$ Utilizziamo questa relazione per riscrivere l’energia totale nella forma $$E=\frac{1}{2}m\ell^{2}\dot{\theta}^{2}+U_{eff}(\theta)$$ dove $$U_{eff}(\theta)=mg\ell\cos\theta+\frac{L_{z}^{2}}{2m\ell^{2}\sin^{2}\theta}=mg\ell\left(\cos\theta+\frac{\beta^{2}}{1-\cos^{2}\theta}\right)\,.$$ Per comodità abbiamo introdotto la variabile adimensionale $$\beta^{2}=\frac{L_{z}^{2}}{2m^{2}\ell^{3}g}\,.$$ Il grafico qualitativo è riportato in Figura 1↓, per diversi valori di $\beta$ .