Introduzione alla Relatività Generale

Note del corso tenuto al Dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa
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G. Cella

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Istituto Nazionale di Fisica Nucleare sez. Pisa
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1  Relatività speciale

Fisica Newtoniana: sistemi inerziali e il principio di relatività. Teoria gravitazionale di Newton: massa inerziale e massa gravitazionale. Confronto con le equazioni dell’elettromagnetismo. Il formalismo della relatività speciale. Accelerazione in relatività speciale. Il paradosso dei gemelli. L’effetto Doppler. Formalismo Lagrangiano. Teoremi di Noether. Tensore energia impulso. Invarianza e Covarianza.

2  I principi della relatività generale

Principio di equivalenza. Principio di covarianza generale. Geodetiche. L’equazione della deviazione geodetica. L’equazione di Einstein. Fluidi. Il limite Newtoniano. Formulazione variazionale.
Varietà e coordinate. Trasformazioni di coordinate. Vettori, forme differenziali e tensori. Campi tensoriali. Derivata di Lie. Derivata Covariante. Tensore di curvatura. Metrica e connessione metrica. Densità tensoriali. Integrazione.

2.1  Una metrica

3  Approssimazione lineare

Onde gravitazionali. Emissione di radiazione gravitazionale. Esempi di sorgenti. Rivelazione di onde gravitazionali. Lenti gravitazionali.

3.1 Ottica e relatività generale

Un esempio[1].
(4.1) \begin{equation} y=\int g(x)dx \end{equation}

4  Test classici della relatività generale

Precessione del perielio. Deflessione dei raggi luminosi. Red shift. Ritardo temporale.

5  Buchi neri

La metrica di Schwarzschild. Moto di particelle. Orizzonte degli eventi. Diagrammi di Penrose. La metrica di Reissner-Nordstrom. Metrica di Kerr. Singolarità e orizzonti. Ergosfera. Meccanismo di Penrose.

5.1  La formazione di un buco nero

6  Cosmologia relativistica

Concetti di base. Metrica di Fermi-Robertson-Walker. Modelli di universo. Redshift cosmologico. Evoluzione ed età dell’universo.
Table of Contents
Chapter 1: Relatività speciale
Chapter 2: I principi della relatività generale
Section 2.1: Una metrica
Chapter 3: Approssimazione lineare
Section 3.1: Ottica e relatività generale
Chapter 4: Test classici della relatività generale
Chapter 5: Buchi neri
Section 5.1: La formazione di un buco nero
Chapter 6: Cosmologia relativistica
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Bibliography

[1] Bernard Schutz. A first course in general relativity. Cambridge University Press, 2009.

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