Raffreddamento dei corpi

Gli oggetti caldi perdono calore (e la loro temperatura diminuisce) attraverso i meccanismi di conduzione, convezione e irraggiamento¹ .

La conduzione consiste nello scambio di energia tra gli atomi adiacenti dei corpi in contatto. Tale scambio avviene, evidentemente, in tutte le direzioni, ma, per mezzi omogenei, in media, c'è un flusso netto di energia nella direzione di massima diminuzione della temperatura.

La convezione consiste nel movimento di materiale caldo (generalmente un fluido) che porta via il calore da una zona calda e, dopo essersi spostato lo cede ad una zona fredda. La convezione può essere naturale, quando, ad esempio, l'aria si solleva da una superficie calda perchè l'aumento di temperatura ne diminuisce la densità,, ovvero può essere forzata se è prodotta da agenti esterni, quali un ventilatore.

L'irraggiamento è l'emissione, da parte di un corpo, di energia sotto forma di radiazione (elettromagnetica). La legge di Stefan stabilisce che la potenza irradiata da un corpo alla temperatura T è proporzionale alla quarta potenza della temperatura espressa in gradi Kelvin. Una evidenza di questo tipo di emissione termica si ha osservando l'incandescenza di un pezzo di carbone nella brace o la sensazione di caldo quando ci si espone alla luce solare (la parte che vediamo della luce solare è una piccola parete della radiazione che ci colpisce). L'irraggiamento può essere interrotto interponendo tra la sorgente e il corpo che riceve la luce un mezzo opaco (o, meglio, riflettente).

Velocità di raffreddamento

La velocità di raffreddamento di un oggetto dipende dalla superficie, dalla massa, dal calore specifico (in generale dal materiale di cui è fatto), dalla temperatura dell' ambiente esterno T_a e dalla temperatura del corpo stesso T.

Una relazione approssimata è data dalla legge di Newton per il raffreddamento:

dT(t) dt = -h(T(t)-Ta)

La "legge" traduce il dato sperimentale che la temperatura decresce con legge esponenziale, tendendo per grandi tempi alla temperatura dell'ambiente esterno. Una verifica approssimata di un andamento esponenziale non è difficile anche con mezzi minimi (una sorgente di calore, un termometro, un orologio e un po' di cura sperimentale).

Nella eq. precedente, h è detto coefficiente di trasferimento termico² ed assume valori che dipendono dal particolare meccanismo di perdita di energia che viene considerato. Per date condizioni, il valore di h può essere stimato sperimentalmente misurando la temperatura del corpo in funzione del tempo.

Perdite per conduzione-convezione

Un possibile modello di raffreddamento si basa sul flusso di calore attraverso un sottile strato (di spessore d dal determinare) del mezzo che circonda il corpo in raffreddamento. Questo strato è considerato immobile rispetto al corpo B e caratterizzato da una conducibilità termica k

La conducibilità termica di un mezzo omogeneo è la costante di proporzionalità, che compare nella legge di Fourier, tra la densità di flusso di calore in un punto e il gradiente della temperatura nello stesso punto. Per un mezzo in cui la temperatura dipende solo dalla direzione x (una lastra indefinita nelle direzioni trasversali):

jx = -k dT dx

(0.1)

Il valore di k varia in un grande intervallo per i diversi materiali che si distinguono pertanto in buoni conduttori di calore (i metalli³ , caratterizzati da valori di k compresi tra 0.1 e 1 cal/(cm^°K s)) e cattivi conduttori di calore( i gas che hanno valori da 10000 a 100000 volte più piccoli dei metalli). Tra i solidi valori molto bassi di conducibilit termica hanno i legni (3.5 10^-4 cal/(cm^°K s)), i tessuti (la lana ha un k di circa 10^-4 cal/(cm^°K s)). Valori un po' più alti si riscontrano tra i liquidi (l'acqua, in particolare ha un km di circa 1.5 10^-3 cal/(cm^°K s)).

Applicazione ad un corpo con temperatura uniforme

La soluzione della equazione del calore anche in condizioni geometriche semplici non è un problema elementare.

Tuttavia, se consideriamo che il corpo B che si raffredda abbia temperatura uniforme (il gradiente della temperatura è trascurabile all'interno), in ogni punto della superficie di B si può calcolare la densità di flusso diretta perpendicolarmente alla superficie, nella direzione che chiamiamo x. Ogni elemento dS della superficie del corpo è attraversato da un flusso di calore, diretto verso l'esterno se il mezzo circostante ha temperatura più bassa di B:

j·dS = -k dT dx ·dS

Da cui si trova, sommando i contributi su tutta la superficie S del corpo che la potenza dissipata, ossia la quantità di calore persa nell'unità di tempo è:

dQ dt = -kS dT dx

la quantità di calore persa è in relazione alla variazione di temperatura e alla capacità termica C di B (C = mc, dove m è la massa di B e c è il calore specifico del materiale di B). Il gradiente di temperatura si può stimare assumendo che nello straterello d il gradiente sia costante e pertanto uguale a:

dT dx @ T-Ta d

In conclusione, si trova, secondo questo modello che la costante h che compare nella legge di raffreddamento si può esprimere tramite quantità note (o misurabili):

h = kS rVcd

Perdite per irraggiamento

Un secondo meccanismo per il trasferimento di calore è l'irraggiamento. Secondo la legge formulata dal fisico austriaco Josef Stefan la energia irradiata nell'unità di tempo da una unità di superficie di un corpo (nero) alla temperatura T è proporzionale alla quarta potenza di T:

P = s T4

La costante s vale 5.68 10^-8 W/(m²K⁴). Per un corpo reale (non perfettamente nero) si può introdurre un coefficiente minore di 1, detto emissività e per cui

P = esT4

.

Un utile esercizio consiste nel considerare la superficie del Sole, una sfera di raggio RS=7 108 m, quella di un corpo nero (e=1) a temperatura di circa 6000 K. la potenza irraggiata in tutte le direzioni giunge anche sulla Terra che si trova ad una distanza D = 1.5 1011 m dal Sole. Trascurando ogni assorbimento determinare la potenza incidente su 1 m2 di superficie terrestre ortogonale alla congiungente sole-terra. La risposta è circa 1.6 kW

Nel problema del raffreddamento possiamo immaginare che i due corpi che sono sorgenti di radiazione termica siano il corpo B, a temperatura T e l'ambiente, a temperatura T_a. Assumendo che l'ambiente sia un corpo nero e sapendo che la radiazione ambientale viene assorbita da B con la stessa efficienza e della emissione, il calore netto perso da B è:

dQ dt = -Ses(T4-Ta4)

Per valori piccoli, rispetto alle temperature, della differenza di temperatura tar corpo e ambiente si può sviluppare al primo ordine in T-T_a la precedente espressa nella sola variabile temperatura:

dT dt = -h¢(T-Ta)

Nel regime supposto si ha ancora un decadimento esponenziale della temperatura. Questa volta l'inverso della costante tempo è:

h¢ = S rVc es4Ta3

Ordini di grandezza nei due modelli

Pe un corpo di forma e composizione semplici la costante h¢ del modello di raffreddamento per irraggiamento è facilmente stimabile essendo funzione di quantità note o misurabili. Per una temperatura ambiente di 300 K e una emissività unitaria un blocchetto metallico (c=100 J/(kg K)) con una superficie di qualche decina di cm² (S=0.01 m²) e una massa di qualche decina di grammi (rho V=0.1 kg) si ha una costante di tempo di qualche decina di minuti.

Il modello di raffreddamento per conduzione-convezione ha un parametro incognito che è lo spessore d dello strato conduttivo. Usando come conducibilità termica quella dell'aria (0.01 J/(m K sec)) e con gli altri parametri uguali al caso precedente un tempo caratteristico di qualche centinaio di secondi per la decrescita esponenziale si ha per uno spessore d @ 5 mm, un valore ragionevole per la zona di transizione tra la temperatura della superficie del corpo e quella dell'aria circostante.

In generale, il raffreddamento newtoniano (convettivo-conduttivo) e quello per irraggiamento sono presenti contemporaneamente e la costante efficace H = h+h¢. Un problema interessante è immaginare un esperimento in grado di discriminare i due contributi.

Dati sperimentali

La temperatura di una tazza di caffé è stata misurata per una mezz'ora circa ad intervalli di 2 minuti e sono stati trovati i dati riportati come cerchietti nel grafico della figura:

Figure

Integrazione numerica della equazione differenziale

Per mostrare che il modello di raffreddamento per conduzione produce un andamento esponenziale si può cercare una sua soluzione numerica.

Il modo più semplice è di considerare la derivata come il valore della variazione della temperatura T in un tempo Dt abbastanza piccolo (la approssimazione è tanto migliore quanto più piccolo è Dt.

dT dt @ T(t+Dt)-T(t) Dt

Il secondo membro dell'equazione dice che il valore della derivata dipende dalla differenza di temperatura. Nell'intervallo Dt, se è abbastanza piccolo (e, quindi, la temperatura non varia molto) si può prendere come valore della differenza quella all'inizio dell'intervallo⁴. Questa procedura è dovuta al matematico svizzero Leonardo Eulero (Basilea 1707- San Pietroburgo 1783) e coincide con la approssimazione di primo ordine mediante quella che oggi chiamiamo serie di McLaurin(-Eulero).

In sostanza la approssimazione alla equazione differenziale è:

T(t+Dt)-T(t) Dt = -h(T(t)-Ta))

che può essere risolta per esprimere il valore della temperatura al tempo t+Dt quando si conosca la temperatura al tempo t:

T(t+Dt) = T(t)-h(T(t)-Ta))Dt

Questa approssimazione è alla base di un algoritmo, ossia di una procedura di calcolo che può, in linea di principio, essere adoperata per qualunque equazione differenziale di primo ordine.

Per iniziare il calcolo occorre conoscere il valore della temperatura ad un certo istante (normalmente l'istante iniziale), dopodiché si calcola iterativamente la temperatura agli istanti successivi.

Il programma può essere attuato manualmente ed è ciò che non si sono vergognati di fare gli studiosi che successero ad Eulero fino alla diffusione delle macchine automatiche di calcolo. Oggi, la disponibilità di calcolatori programmabili consente di rendere immediata la realizzazione del metodo di calcolo.

Realizzazione del metodo con Matlab

Proponiamoci di illustrare la realizzazione del metodo di Eulero usando il linguaggio MatLab e scriviamo una funzione che accetta come argomenti di ingresso la temperatura iniziale, al temperatura ambiente e la costante h e restituisce in un intervallo da t_i=0 a t_f = 5t dove t = 1/h è il tempo caratteristico della esponenziale la temperatura del corpo ad intervalli di tempo Dt = (t_f-t_i)/N con N=100 0 più.

Controllo del flusso di esecuzione - iterazione

Nella esecuzione di un programma (in MatLab questo ha la forma di uno script, o di una funzione), le singole istruzioni vengono eseguite una dopo l'altra, in modo sequenziale, partendo dalla prima riga in giù. Lo scorrimento della sequenza dei comandi può essere controllato attraverso opportuni costrutti sintattici (o strutture) che vengono posti all'interno del programma.

Le due operazioni principali che intendiamo illustrare sono la ripetizione (iterazione) di un blocco di istruzioni e la scelta condizionata tra sequenze alternative di istruzioni.

La prima operazione si ottiene usando le strutture cicliche for e while, la seconda tramite la strutture if-else. Esse sono presenti, in forme più o meno simili, in tutti i linguaggi di programmazione.

Noi ne illustreremo l'uso pratico in MatLab, ma molte delle considerazioni che faremo possono essere trasposte, con poche modifiche, in tutti gli altri ambienti di programmazione.

Il ciclo for

La potenza offerta dai calcolatori non si manifesta compiutamente nel caso in cui si debba eseguire una sequenza di operazioni una sola volta. In effetti, in molti casi, capita che le istruzioni di un programma (o parte di esse) debbano essere eseguite ripetutamente, il più delle volte al variare dei dati.

Consideriamo un esempio ormai familiare: si vuole eseguire la somma di due vettori di lunghezza N. In sostanza, si tratta di eseguire N volte la somma di due numeri (le componenti di posto corrispondente dei due vettori di partenza) e di eseguire N assegnazioni dei risultati delle singole somme alle componenti corrispondenti del vettore somma. Quindi, il programma deve eseguire per N volte la stessa sequenza di istruzioni (nel caso fatto le istruzioni sono due: somma e assegnazione). Come risulterà ancora più chiaro nel seguito, questa situazione è molto comune nel calcolo numerico e tutti i linguaggi di programmazione offrono istruzioni apposite per codificare questa procedura. La prima che vedremo è l'istruzione for

La struttura generale di un ciclo for in MatLab è la seguente:

Quando durante l'esecuzione di un programma viene incontrata un blocco di istruzioni del tipo indicato nel riquadro la sequenza di istruzioni, che viene detta corpo (ing. body) del ciclo viene eseguita un numero di volte pari alla lunghezza del vettore e la variabile x assume per la i-sima esecuzione il valore x(i) uguale alla i-sima componente del vettore.

Ciclo for indicizzato

Questa scrittura è un caso particolare della forma generale del ciclo for e fa uso di una delle modalità di costruzione di un vettore viste nella Lezione 2. La scrittura 1:N costruisce un vettore la cui prima componente è 1, l'ultima è N e ogni componente è uguale alla precedente più 1. Quindi da una parte il vettore ha la lunghezza giusta per fissare il numero N di volte in cui il ciclo viene eseguito, dall'altra presenta un importante vantaggio rispetto ad altri vettori di dimensione N. Esso, infatti, fornisce un contatore, ossia una variabile (nel caso dell'esempio nel riquadro, k) che è uguale a 1 per la prima esecuzione, a 2 per la seconda e così via. Quindi, k è un indice che può essere attribuito alle operazioni che vengono eseguite e può essere usato, ad esempio, per registrare il risultato di una operazione come componente di un vettore.

Consideriamo il seguente problema: si voglia calcolare il prodotto dei primi N numeri naturali. In matematica questo numero si indica con N! e si legge N fattoriale. Ad esempio 3! = 1·2·3. Se ne può calcolare il valore per qualunque N con la seguente funzione che fa uso dell'istruzione for.

function fattor(n)
prod=1;
for k=1:n
prod=prod*k;
end

Soluzione della equazione di raffreddamento col metodo di Eulero

Suddividiamo l'intervallo tra t_i e t_f in N passi:

dt=(t_f-t_i)/N;

tempi=t_i:dt:t_f; 

dopodiché per gli N passi si calcola la temperatura al tempo i+1-simo, nota la temperatura al punto i-simo.

T(1)=temperatura_iniziale

for
i=1:N
T(i+1)=T(i)-h*(T(i)-Ta)*dt;
end

Footnotes:

¹Una discussione, con intenti didattici, del problema del raffreddamento dei corpi si trova in: C.T.O'Sullivan Newton's law of cooling - A critical assessment in American Journal of Physics Vol.58 pag.956 (1990)

²In inglese heat transfer coefficient

³Il migliore conduttore di calore è, in assoluto, il rame metallico

⁴Talvolta, può essere conveniente per ragioni di stabilità prendere il valore alla fine o, per maggiore precisione, prendere la media tra i due, oppure adottare altre scelte ancora