Studiamo adesso la soluzione generale delle equazioni del moto. Notiamo anzitutto che queste possono essere riscritte nella forma $$\left( \begin{array}{cc} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} k_1+k & -k \\ -k & k_1+k \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) $$ ossia $$\boldsymbol{M} \ddot{\underline{q}} + \boldsymbol{K} \underline{q} = 0$$ dove $$\underline{q}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right),\quad \boldsymbol{M}=\left( \begin{array}{cc} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{array} \right),\quad \boldsymbol{K}=\left( \begin{array}{cc} k_1+k & -k \\ -k & k_2+k \end{array} \right) $$ Cerchiamo adesso soluzioni della forma $$ \underline{q}(t) = \underline{Q} e^{i\omega t} $$ dove \(\underline{Q}\) è un vettore indipendente dal tempo e \(\omega\) una costante, entrambi da determinare.
Dato che $$ \underline{\ddot{q}}(t) = -\omega^2 \underline{q}(t) $$ sostituendo nelle equazioni del moto vediamo che queste diventano $$\left(-\omega^2 \boldsymbol{M} + \boldsymbol{K}\right) \underline{Q} e^{i\omega t} = 0$$ Ma questo è un sistema lineare omogeneo per le due componenti di \(\underline{Q}\). Notare che il fattore esponenziale dipendente dal tempo è inessenziale e può essere eliminato.
Il sistema ammette la soluzione banale $$ \underline{Q}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) $$ che si può interpretare facilmente: le due masse possono rimanere ferme nelle rispettive posizioni di equilibrio.
Un sistema lineare omogeneo ammette soluzioni diverse da quella appena trovata solo se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, $$\det \left(-\omega^2 \boldsymbol{M} + \boldsymbol{K}\right) = 0$$ e questo accadrà solo per particolari valori di \(\omega^2\). Per determinarli scriviamo esplicitamente il determinante precedente $$\left|\begin{array}{cc} k_1+k-m_1\omega^2 & -k \\ -k & k_2+k-m_2 \omega^2 \end{array} \right|= m_1 m_2 \omega^4 - [m_2 k_1 + m_1 k_2 + k (m_1+m_2)]\omega^2 + [k_1 k_2 + k(k_1+k_2)] $$ Si tratta di un polinomio di secondo grado in \(\omega^2\), che si annullerà per due valori (entrambi positivi) di \(\omega^2\), \(\omega^2 = \omega_1^2\) e \(\omega^2 = \omega_2^2\).
Scegliendo uno dei due dobbiamo adesso trovare le soluzioni di $$\left(\begin{array}{cc} k_1+k-m_1\omega^2_i & -k \\ -k & k_2+k-m_2 \omega^2_i \end{array} \right) \underline{Q}_i=0$$ che saranno definite a meno di una arbitraria costante moltiplicativa. In altri termini, i vettori \(\underline{Q}_i\) sono soluzioni della equazione generalizzata agli autovalori $$\boldsymbol{K}\underline{Q}_i = \omega^2_i \boldsymbol{M} \underline{Q}_i$$ Notiamo che $$\underline{Q}_1^T \boldsymbol{K} \underline{Q}_2 = \left(\boldsymbol{K} \underline{Q}_1\right)^T \underline{Q}_2$$ da cui segue $$\omega_1^2 \underline{Q}_1^T \boldsymbol{M} \underline{Q}_2 = \omega_2^2 \underline{Q}_1^T \boldsymbol{M} \underline{Q}_2 $$ e quindi $$\left(\omega_1^2-\omega_2^2\right) \underline{Q}_1^T \boldsymbol{M} \underline{Q}_2 = 0$$ in altre parole vettori \(\underline{Q}_i\) corrispondenti a differenti \(\omega_i^2\) sono ortogonali tra di loro rispetto al prodotto scalare definito dalla matrice (definita positiva) \(\boldsymbol{M}\). Questo è il motivo per il quale vengono chiamati modi normali.
Abbiamo alla fine trovato quattro soluzioni linearmente indipendenti delle equazioni del moto. La soluzione generale sarà quindi una combinazione lineare arbitraria delle soluzioni corrispondenti a \(\pm \omega_1\) e \(\pm \omega_2\). Dato che \(\underline{Q}_i\) non dipende dal segno di \(\omega_i\) avremo $$\underline{q} = \left( A_1 e^{i \omega_1 t} + B_1 e^{-i \omega_1 t} \right) \underline{Q}_1 + \left( A_2 e^{i \omega_2 t} + B_2 e^{-i \omega_2 t} \right) \underline{Q}_2 $$ dove \(A_1\), \(B_1\), \(A_2\) e \(B_2\) sono quattro costanti complesse arbitrarie. In realtà siamo interessati a soluzioni reali, e scegliendo opportunamente le costanti precedenti potremo scrivere $$ \underline{q} = \left( a_1 \cos \omega_1 t + b_1 \sin \omega_1 t \right) \underline{Q}_1 + \left( a_2 \cos \omega_2 t + b_2 \sin \omega_2 t \right) \underline{Q}_2 $$ dove le costanti \(a_1\), \(b_1\), \(a_2\) e \(b_2\) sono adesso reali. Dato che la soluzione appena determinata è la combinazione di quattro soluzioni linearmente indipendenti, è anche la soluzione più generale. Le costanti si possono facilmente determinare in funzione delle condizioni iniziali. Osserviamo che $$ \underline{q}(0) = a_1 \underline{Q}_1 + a_2 \underline{Q}_2 $$ Possiamo sfruttare il fatto che i modi sono normali rispetto al prodotto scalare definito da \(\boldsymbol{M}\) per proiettare su ciascuno di essi. Ad esempio da $$ \underline{Q}_i^T \boldsymbol{M} \underline{q}(0) = a_i \underline{Q}_i^T \boldsymbol{M} \underline{Q}_i$$ otteniamo direttamente $$a_i = \frac{\underline{Q}_i^T \boldsymbol{M} \underline{q}(0)}{\underline{Q}_i^T \boldsymbol{M} \underline{Q}_i}$$ Similmente a partire da $$ \dot{\underline{q}}(0) = b_1 \omega_1 \underline{Q}_1 + b_2 \omega_2 \underline{Q}_2 $$ otterremo $$b_i = \frac{1}{\omega_i} \frac{\underline{Q}_i^T \boldsymbol{M} \dot{\underline{q}}(0)}{\underline{Q}_i^T \boldsymbol{M} \underline{Q}_i}$$
In conclusione vediamo che la soluzione generale del problema considerato si riduce ad una combinazione lineare di due modi normali (uno per ogni grado di libertà del sistema). Ciascun modo normale oscilla con una frequenza ben definita. Nella sezione seguente studieremo alcuni esempi di evoluzione temporale.
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Prossima sezione: evoluzione temporale.